М1881- (10)

1.

М1881

Пусть a, b, c — положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство

2.

М1882*

Изначально у Ани и Бори было по длинной полосе бумаги. На одной из них была написана буква А, а на другой Б. Каждую минуту один из них (не обязательно по очереди) приписывает к слову на своей бумажке слово с бумажки другого. Докажите, что через сутки слово с Аниной полоски можно будет разрезать на 2 части и переставить их местами так, что получится то же слово задом наперёд.

3.

М1883

Решите в целых числах уравнения:

а) x⁴ - 2y² = 1;

б) x² - 2y⁴ = 1;

в) x⁴ - 8у² = 1;

г) x² - 8y⁴ = 1.

4.

М1884

а) Квадрат разрезан на квадраты, один из которых красный, а остальные синие. Периметр каждого синего квадрата является целым числом. Докажите, что периметр красного квадрата — тоже целое число.

б) Равносторонний треугольник разрезан на равносторонние треугольники, один из которых красный, а остальные синие. Периметр каждого синего треугольника является целым числом. Докажите, что периметр красного треугольника — целое число.

5.

М1885

Автомобильная стоянка представляет собой ряд из n мест, занумерованных слева направо числами от 1 до n, а въезд на стоянку находится справа. У въезда скопились n машин, и теперь они по очереди заезжают на стоянку. Каждый водитель сначала подъезжает к своему любимому месту. Если оно свободно, ставит туда машину, а если занято, то едет вперёд до ближайшего свободного места (назад поворачивать нельзя). Обозначим а_i, где 1 £ i £ n, номер любимого места водителя i-ой в очереди машины. Будем говорить, что последовательность a₁, ..., a_n бесконфликтна, если удаётся поставить машины на стоянку, соблюдая указанные выше правила. Например, при n = 2 последовательности (1, 2), (2, 1) и (2, 2) бесконфликтны, а последовательность (1, 1) конфликтна.

а) Докажите, что последовательность натуральных чисел a₁, ..., a_n бесконфликтна тогда и только тогда, когда ни один её член не превосходит n и когда для любого натурального k, где k < n, количество членов последовательности, не превосходящих k, не превосходит k. Найдите количество

б*) бесконфликтных последовательностей длины n;

в*) бесконфликтных неубывающих последовательностей длины n.

6.

М1886

На столе лежат картинками вниз 8 игральных карт. Вы можете указать на любую группу карт (в частности, на одну карту или, например, на все 8) и спросить, сколько карт бубновой масти в этой группе. В качестве ответа вам сообщат число, отличающееся от истинного значения на 1. Как при помощи 5 вопросов наверняка узнать число бубновых карт, лежащих на столе?

7.

М1887

Из точки пересечения диагоналей O описанного четырёхугольника ABCD опущены последовательно перпендикуляры OK, OL, OM, ON на его стороны. Докажите, что 1 / OK + 1 / OM = 1 / OL + 1 / ON.

8.

М1888

В шкатулке n монет достоинством в целое число дукатов каждая на сумму 2n - 1 дукатов. Доказать, что любую сумму от 1 до 2n - 1 можно предоставить монетами из шкатулки.

9.

М1889

На плоскости даны точки A₁, A₂, …, A_n и точки B₁, B₂, …, В_n. Докажите, что точки В_i можно перенумеровать так, что для всех попарно различающихся индексов i и j угол между векторами A_iA_j и B_iB_j будет острым или прямым.

10.

М1890

Четыре хорды разделяют круг на девять частей, одна из которых является прямоугольником (показано на рисунке).

Площади восьми синих частей — рациональные числа.

Докажите, что площадь красного криволинейного треугольника — рациональное число.