М1841 - М1860 (14)

1.

М1846

Докажите, что для любого натурального n и любого натурального k £ n выполняется неравенство

2.

М1847

В 8 банках сидят 80 пауков. Разрешается выбрать любые две банки, суммарное число пауков в которых чётное, и пересадить часть пауков из одной банки в другую, чтобы их стало поровну. При любом ли начальном распределении пауков в банках с помощью нескольких таких операций можно добиться того, чтобы в каждой банке оказалось одинаковое число пауков?

3.

М1848

В треугольник АВС вписана окружность с центром О, которая касается сторон в точках А₁, В₁, С₁. Отрезки АО, ВО, СО пересекают окружность в точках А₂, В₂, С₂. Докажите, что площадь треугольника А₂В₂С₂. равна половине площади шестиугольника В₁А₂С₁В₂А₁С₂.

4.

М1849

Простое число p удовлетворяет равенству p² = 2ⁿ × 3^m + 1, где n и m — целые неотрицательные числа. Докажите, что p £ 17.

5.

М1850

Числа натурального ряда от 1 до n(n + 1) записаны последовательно красным и синим цветами в следующей очерёдности. Первые n чисел — красные, затем одно — синее, затем n - 1 чисел — красные, затем два — синие и т.д., наконец, одно число — красное и последние n чисел — синие. Таким образом, убывающие по численности группы красных чисел перемежаются с возрастающими по численности группами синих чисел. Докажите, что сумма синих чисел вдвое больше суммы красных чисел.

6.

М1852

Дано натуральное число n. В интервале (n²; n² + n) выбраны различные натуральные числа a и b. Докажите, что в этом интервале нет натуральных делителей числа ab, отличающихся от a и b.

7.

М1853

С числом разрешается производить следующие операции:
1) возвести в любую натуральную степень;
2) отрезать последние две цифры, умножить образованное ими число на 3 и прибавить к числу, образованному остальными цифрами.

Можно ли с помощью таких операций из числа 81 получить число 82?

8.

М1854*

Пусть f(x) — многочлен степени m ³ 2 с целыми коэффициентами. Докажите, что множество значений многочлена f(x) в целых точках содержит бесконечную геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда f(x) = a(bx + c)^m (здесь a, b, c — целые числа, a ≠ 0, b ≠ 0).

9.

М1855

Плоскости, параллельные граням прямоугольного параллелепипеда, разрезали его на меньшие параллелепипеды, которые окрасили в чёрный и белый цвета в шахматном порядке. Известно, что суммарный объём чёрных равен суммарному объёму белых параллелепипедов. Докажите, что из чёрных параллелепипедов можно составить параллелепипед P, а из белых можно составить параллелепипед Q так, что P и Q будут равны.

10.

M1856

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его основания АС в точке Е, а боковых сторон — в точках М и К (показано на рисунке). Прямая МК пересекает продолжение основания в точке Р. Докажите, что прямая РО перпендикулярна прямой ВЕ.