Вводные задачи (5)

1.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что A₁C · BC = B₁C · AC.

2.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CH. Докажите, что AC² = AB · AH и CH² = AH · BH.

3.

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины.

4.

На стороне BC треугольника ABC взята точка A₁ так, что BA₁ : A₁C = 2 : 1. В каком отношении медиана CC₁ делит отрезок AA₁?

5.

В треугольник ABC вписан квадрат PQRS так, что вершины P и Q лежат на сторонах AB и AC, а вершины R и S — на стороне BC. Выразите длину стороны квадрата через a и h_a.