2. Величина угла между двумя хордами (7)

1.

Задача 2.14

На окружности даны точки A,B,C,D в указанном порядке.  M — середина дуги AB. Обозначим точки пересечения хорд MC и MD с хордой AB через E и K. Докажите, что KECD — вписанный четырехугольник.

2.

Задача 2.15

По стороне правильного треугольника катится окружность радиуса, равного его высоте. Докажите, что угловая величина дуги, высекаемой на окружности сторонами треугольника, всегда равна 60°.

3.

Задача 2.16

Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с боковой стороной AB пересекаются в точке P. Докажите, что центр O ее описанной окружности лежит на описанной окружности треугольника APB.

4.

Задача 2.17

На окружности даны точки A,B,C,D в указанном порядке;  A₁,B₁,C₁ и D₁ — середины дуг AB,BC,CD и DA соответственно. Докажите, что A₁C₁ ^ B₁D₁.

5.

Задача 2.18

Внутри треугольника ABC взята точка P так, что  РBPC = РA + 60°, РAPC = РB + 60° и РAPB = РC + 60°. Прямые AP,BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках Aў,Bў и Cў. Докажите, что треугольник AўBўCў правильный.

6.

Задача 2.19

На окружности взяты точки A,C₁,B,A₁,C,B₁ в указанном порядке.

а) Докажите, что если прямые AA₁,BB₁ и CC₁ являются биссектрисами углов треугольника ABC, то они являются высотами треугольника A₁B₁C₁.

б) Докажите, что если прямые AA₁,BB₁ и CC₁ являются высотами треугольника ABC, то они являются биссектрисами углов треугольника A₁B₁C₁.

7.

Задача 2.20

В окружность вписаны треугольники T₁ и T₂, причем вершины треугольника T₂ являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами треугольника T₁. Докажите, что в шестиугольнике, являющемся пересечением треугольников T₁ и T₂, диагонали, соединяющие противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника T₁ и пересекаются в одной точке.