М801 - М820 (20)

1.

M801*

Докажите, что для любого натурального n выполнено равенство

([x] обозначает целую часть числа x).

2.

M802

На сторонах AВ и AС треугольника AВС как на гипотенузах построены вне его прямоугольные треугольники AРВ и BQС с одинаковыми углами величины β при их общей вершине B (показано на рисунке). Найдите углы треугольника PQK, где K — середина стороны AС.

3.

M803

Сумма двух рациональных чисел x и y — натуральное число, сумма обратных к ним чисел 1/х и 1/y — тоже натуральное число. Какими могут быть x и y?

4.

M804

Точка O — середина оси прямого кругового цилиндра, A и B — диаметрально противоположные точки окружности нижнего основания цилиндра, С — некоторая точка окружности верхнего основания, не лежащая в плоскости OАВ. Докажите, что сумма двугранных углов трехгранного угла OАВС (с вершиной O) равна 2π.

5.

M805*

а) На сторонах BС, СА, AВ треугольника AВС выбраны соответственно точки A₁, В₁, C₁ так, что отрезки AA₁, BВ₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что S_A1B1C1 £ S_ABC / 4.

б) На гранях BCD, CDA, BDA, ABC тетраэдра ABCD выбраны соответственно точки A₁, В₁, C₁, D₁ так, что отрезки AA₁, BВ₁, CC₁, DD₁, пересекаются в одной точке. Докажите, что V_A1B1C1D1 £ V_ABCD / 27.

6.

M806

a) Докажите, что если
,
то многочлен a_nxⁿ-1+a_n-1xⁿ-2+...+a₂x+a₁ имеет корень между 0 и 1.

б) Докажите, что если для некоторого p > 0
,
то этот многочлен также имеет корень между 0 и 1.

7.

M807

a) Из произвольной точки M внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры MK₁, MK₂, MK₃ на его стороны.
Докажите, что сумма векторов
, где O — центр треугольника.

б) Из произвольной точки M опущены перпендикуляры MK₁, MK₂, ..., MK_n на все стороны правильного n-угольника (или их продолжения).
Докажите, что
,
где O — центр n-угольника.

в) Из произвольной точки M внутри правильного тетраэдра опущены перпендикуляры MK₁, MK₂, MK₃, MK₄ на его грани.
Докажите, что
,
где О — центр тетраэдра.

8.

M808

На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает какую-нибудь клетку в красный цвет, второй — k (неокрашенных) клеток в синий цвет, затем снова первый одну (неокрашенную) — в красный, второй — k клеток — в синий и.т.д. Первый стремится к тому, чтобы четыре какие-нибудь красные клетки расположились в вершинах квадрата (со сторонами, параллельными линиям сетки).
Сможет ли второй ему помешать
а) при k = 1;
б)* при k = 2;
в)* при каком-либо k > 1?

9.

M809

Найдите сумму .

10.

M810*

Докажите, что в любой выпуклый многоугольник М можно поместить прямоугольник, площадь которого не меньше 1/4 площади многоугольника М.