1/16 финала. Вариант 2 (8)

1.

Целые числа a, b, c и d удовлетворяют равенству a² + b² + c² = d². Доказать, что число abc делится на 4.

2.

Можно ли разрезать равнобедренный прямоугольный треугольник на несколько подобных ему треугольников так, чтобы среди них не было равных?

3.

Играют двое, ходы делают по очереди. Игра начинается с числа 2000. За ход разрешается уменьшить имеющееся число на любой из его делителей. Проигрывает тот, кто получит 0. Кто выиграет при правильной игре?

4.

Решить уравнение в целых числах:

(x – y)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 30.

5.

Паук терпит соседа на расстоянии, не меньшем 1 метра. Какое наибольшее количество пауков может разместиться на паутине, изображенной на рисунке?

6.

Найдется ли такое натуральное число n, при котором 2ⁿ + n² оканчивается цифрой 5?

7.

В выпуклом четырехугольнике ABCD выполняется AB + BD < AC + CD. Докажите неравенство AB < AC.

8.

На доске написано 2000 нулей и 2001 единица. Вася стирает два числа и, если они были одинаковы, дописывает к оставшимся числам один ноль, а если разные — единицу. Потом он повторяет эту операцию снова, потом еще раз, и так далее. В итоге на доске остается только одно число. Что это за число?