1/16 финала. Вариант 3 (8)

1.

Докажите неравенство для любого натурального n:

2.

Найти геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух данных прямых m и l равна длине a данного отрезка.

3.

На доске написана разность

********* – ********* = ….

Первый игрок называет цифру. Второй ее ставит вместо звездочки. После расстановки всех цифр считается разность. Первый стремится ее увеличить, а второй уменьшить. Какое число получится, если оба игрока будут играть по наилучшей стратегии?

4.

На плоскости n параллельных прямых пересекаются серией из m параллельных прямых. Сколько параллелограммов можно выделить в образовавшейся сетке?

5.

Доказать, что если натуральное число p = 100a + 10b + c делится на 37, то и числа q = 100b + 10c + a и r = 100c + 10a + b также делятся на 37 (числа a, b, c — натуральные).

6.

В данный треугольник ABC вписать с помощью циркуля и линейки прямоугольник (две вершины на AC, остальные на BC и AB), имеющий заданную диагональ.

7.

На стороне AB треугольника ABC внешним образом построили квадрат с центром O. Точки M и N — середины сторон BC и AC соответственно; BC = a, AC = b. Найти наибольшее значение OM + ON, если угол ACB меняется.

8.

Известно, что последовательность чисел a₁, a₂, a₃, … при любом значении n удовлетворяет соотношению: a_n+1 – 2a_n + a_n–1 = 1, a₁ = 1, a₂ = 5. Найдите a₂₀₀₀.