1/8 финала. Вариант 1 (8)

1.

Найдите a₂₀₀₀, если a₁ = 0 и при n = 1, 2, 3, … выполняется

2.

Квадратный трехчлен f (x) = ax² + bx + c таков, что уравнение f (x) = x не имеет вещественных корней. Докажите, что уравнение f (f (x)) = x также не имеет вещественных корней.

3.

Решите в натуральных числах уравнение z^x + 1 = (z + 1)².

4.

Найти сумму 1 + 11 + 111 + … + 111…1, если последнее слагаемое есть n-значное число.

5.

Отношение высоты конуса к радиусу описанного около него шара равно q. Найти отношение объемов этих тел.

6.

Через точку А проведено n лучей под углами 2p / n. На одном из них на расстоянии d от А взята точка В, из нее опущен перпендикуляр на соседний луч и так далее до бесконечности. Найти длину L получаемой таким образом бесконечно завивающейся вокруг А ломаной.

7.

Вписать в данную окружность треугольник АВС, если известны вершина А, направление высоты h_А и точка пересечения высоты h_B с окружностью.

8.

Делится ли число 2001!! + 2002!! на 2003? (n!! = n × (n – 2) × (n – 4) × …)