1/4 финала. Вариант 2 (8)

1.

Стороны прямоугольного треугольника — целые числа. Доказать, что его площадь делится на 6.

2.

На доске написано несколько нулей, единиц и двоек. Над ними производится следующая операция: стираются две неравные цифры и вместо них записывается цифра, отличная от стертых. После нескольких таких операций на доске осталась единственная цифра. Зависит ли она от порядка, в котором проводились стирания?

3.

Доказать, что для любого прямоугольного треугольника справедливо неравенство 0,4 < r / h < 0,5, где r — радиус вписанного круга, h — высота, опущенная на гипотенузу.

4.

Доказать, что для любых натуральных m и n справедливо неравенство:

5.

Два двузначных числа, записанные одно за другим, образуют четырехзначное число, которое делится на их произведение. Найти все такие пары чисел.

6.

Доказать, что квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 с целыми нечетными коэффициентами не имеет рациональных корней.

7.

Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки окружности на стороны вписанного в нее треугольника, лежат на одной прямой.

8.

Доказать, что если n — целое число, большее 1, то 3ⁿ + 1 не делится на 2ⁿ.