1/2 финала. Вариант 2 (10)

1.

Из каждой вершины (не обязательно выпуклого) многоугольника можно провести диагональ длины, не превосходящей 1, целиком лежащую внутри многоугольника. Докажите, что у этого многоугольника найдется сторона, длина которой не превосходит 1.

2.

Пусть n - натуральное число, большее 1. Докажите, что

3.

Отрезок железной дороги между городами A и K имеет длину 56 км. Поезд делает на нем 9 промежуточных остановок — на станциях B, C, D, E, F, G, H, I и J. Известно, что длина любых двух соседних участков дороги не превосходит 12 км, а длина любых трех подряд идущих участков дороги не меньше 17 км. Найдите расстояние между станциями B и G.

4.

Докажите, что сумма квадратов всех делителей натурального числа n (включая 1 и n) не может равняться (n + 1)².

5.

Таблица m ´ n (m, n ³ 3) заполнена числами так, что числа в каждом столбце образуют арифметическую прогрессию. Какие-то две строки этой таблицы также являются арифметическими прогрессиями. Докажите, что и в остальных строках таблицы тоже записаны арифметические прогрессии.

6.

Про натуральные числа x, y и z известно, что (z + 1)x² + x = zy² + y.

Докажите, что число (y – x) является точным квадратом.

7.

Решите уравнение:

8.

Восемь шахматистов сыграли турнир в один круг. Известно, что в любой тройке шахматистов были двое, сыгравшие между собой вничью. Какое наименьшее число ничьих могло быть в этом турнире?

9.

В квадрат вписан четырехугольник P (на каждой стороне квадрата по одной вершине четырехугольника), в который в свою очередь вписали квадрат (также на каждой стороне четырехугольника по одной вершине квадрата), причем все 12 вершин этих четырехугольников различны. Могло ли так получиться, что у четырехугольника P все стороны попарно различны?

10.

Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC; лучи AO и CO вторично пересекают описанную окружность соответственно в точках D и E таких, что ÐDEC = ÐDAB и ÐEDA = ÐECB. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.