Личная олимпиада (7)

В следующих многозначных числах цифры заменены буквами (одинаковые цифры — одинаковыми буквами, а разные — разными). Оказалось, что ДЕВЯНОСТО делится на 90, а ДЕВЯТКА делится на 9. Может ли СОТКА делиться на 9?

Ответ: не может. Решение. Так как ДЕВЯНОСТО кратно 90, то О равно нулю, а ДЕВЯ+Н+С+Т делится на 9. С другой стороны, ДЕВЯ+Т+К+А также делится на 9. Значит, ДЕВЯ+Т+(К+А+Д+Е+В+Я+Н+С+Т) делится на 9. Но в скобках стоят все 9 ненулевых цифр, сумма которых делится на 9 (она равна 45). Значит, ДЕВЯ+Т делится на 9.

Из выше сказанного следует, что ДЕВЯ+ДЕВЯ+(С+Т+К+А)+Н+Т делится на 9. Если СОТКА делится на 9, то С+Т+К+А кратно 9. Тогда ДЕВЯ+Н делится на 9.

Но получается, что ненулевые различные цифры Н и Т дают равные остатки при делении на 9 (так как суммы ДЕВЯ+Т и ДЕВЯ+Н делятся на 9), что невозможно. Противоречие показывает, что СОТКА не может делиться на 9.

Авторы задачи — И.Воронович, В.Каскевич, г.Минск

1 Ноября 2003 13:13

Раздел каталога :: Ссылка на задачу

в корзину