Личная олимпиада (7)

Двое играют в шахматы, а еще шестеро желающих сыграть образуют очередь. Проигравший партию становится в конец очереди; тот, чья очередь подошла, играет с победителем и так далее. Может ли в какой-то момент оказаться так, что каждые двое cыграли между собой ровно один раз?

Ответ: нет.

Решение. Предположим, что 8 шахматистов смогли, придерживаясь указанных правил, сыграть друг с другом ровно по одному разу. Все 8×7:2 = 28 сыгранных партий пронумеруем числами от 1 до 28. Легко видеть, что никто из игроков не закончил этот турнир раньше, чем закончилась партия №22.

Пусть шахматист A участвовал в партии №1, а к моменту начала своей седьмой, последней, партии потерпел k поражений. Тогда всего в турнире к указанному моменту было сыграно 6 партий с участием A и 6k партий без участия A, то есть 6 + 6k партий. При этом должно выполняться неравенство 21 £ 6 + 6k £ 27, из которого следует, что 6 + 6k = 24.

Итак, последней партией, игранной A, может быть только партия № 25. Но точно такие же рассуждения годятся и для шахматиста B, являвшегося противником A в партии № 1. Получаем противоречие, так как вторично A и B встретиться за доской не могли.

Автор задачи — С.Токарев, г.Иваново

10 Ноября 2003 21:51

Раздел каталога :: Ссылка на задачу

в корзину