Вариант боев 1 (8)

Ответ: 16, 17, …, 24.

Решение. Пусть таблица имеет вид, показанный на рисунке, где a, b, …, i — числа 1, 2, …, 9. Так как

a + c + g + i ³ 1 + 2 + 3 + 4 = 10,

то выполнено, по крайней мере, одно из неравенств a + i ³ 5 и c + g ³ 5; пусть, для определенности, c + g ³ 5. Из соотношения

2S = (a + b + d + e) + (e + f + h + i) = (a + b + с + d + e + f + g + h + i) + e – c – g

следует, что 2S = 45 + e – c – g, откуда 2S £ 45 + 9 – 5 = 49, так как e £ 9, c + g ³ 5. Поэтому число S, будучи целым, не превосходит 24.

Аналогично, используя неравенство a + c + g + i £  6 + 7 + 8 + 9 и полагая, что с + g £ 15, получаем оценку 2S ³ 45 + 1 – 15, откуда S ³ 16.

На рисунке показано, что S может равняться любому целому числу от 16 до 24.

Автор задачи — В.Замков, г.Липецк