Вариант боев 1 (8)

Ответ: нет.

Решение. Допустим, что для некоторого четырехугольника ABCD ситуация, указанная в условии, реализуется. Пусть биссектриса угла A пересекает сторону BC (случай, когда она пересекает сторону CD аналогичен). Тогда сторону СD пересекает биссектриса угла B, сторону AD — биссектриса угла C, сторону AB — биссектриса угла D. То есть биссектрисы углов A, В, С, D пересекают отрезки ОВ, ОС, OD, ОА соответственно (пусть K, L, M, N — соответственные точки пересечения как показано на рисунке). По теореме о биссектрисе угла треугольника имеем

Легко видеть, что произведение левых частей этих равенств равно 1, в то время как

.

Противоречие.

Автор задачи — И. Григорьева, г. Казань